Cuerno de Gabriel
El cuerno
de Gabriel (también llamado trompeta de Torricelli) es una figura geométrica que tiene la
característica de poseer unasuperficie infinita pero
un volumen finito. Es la superficie de
revolución que se obtiene al girar, alrededor del eje X, el gráfico
de la función F(x)=1/x, con dominio x ≥ 1.
Fue ideada por Evangelista Torricelli hacia 1641, que la
bautizó como sólido hiperbólico agudo («solide hyperbolique aigu»)
Historia.
En el momento de su
descubrimiento, fue considerado una paradoja. Esta paradoja aparente ha sido
descrita de modo informal señalando que sería necesaria una cantidad infinita
de pintura para cubrir la superficie exterior, mientras que sería posible
rellenar toda la figura con una cantidad finita de pintura y así cubrir esa
superficie.
La
solución de la paradoja es que un área infinita requiere una cantidad infinita
de pintura si la capa de pintura tiene un grosor constante. Esto no se cumple
en el interior del cuerno, ya que la mayor parte de la longitud de la figura no
es accesible a la pintura, especialmente cuando su diámetro es menor que el de
una molécula de
pintura. Si se considera una pintura sin grosor, sería necesaria una cantidad
infinita de tiempo para que ésta llegase hasta el «final» del cuerno.
En
otras palabras, llegaría un momento en el que el espesor de la trompeta sería
más pequeño que una molécula de pintura con lo que, digamos, una gota de
pintura cubriría el resto de la superficie de la trompeta (aunque fuera
infinito). Así, que la superficie de la trompeta sea infinita no implicaría que
la cantidad de pintura tenga que ser infinita.
Pero la
paradoja también tiene solución incluso si suponemos una materia divisible
indefinidamente (o sea, si no existiesen los átomos). Si el grosor de la capa
de pintura es variable y disminuye indefinidamente (tendiendo a cero), la
cantidad de pintura se calcularía por una integral impropia que podría ser convergente. En este
caso, el espesor de la capa de pintura forzosamente debería ser igual o menor
al valor de y, lo que hace que la integral impropia, en este caso, sea
convergente, es decir, se necesita una cantidad finita de pintura.
